Теорема Абеля о сходимости степенных рядов

- Если $\sum_{n=o}^{\infty} a_{n}x^{n}$ сходится в $x_{0},$ тогда: $$\forall{x}\mathpunct{:}~~|x|<|x_{0}| \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}~-~сх-ся~абс,~~A\Rightarrow(B\Rightarrow C)$$ - Если $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ расходится в $x_{0},$ тогда: $$\forall{x}\mathpunct{:}~~|x|\geq|x_{0}|\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}~-~расх-ся$$

$1)$ Если $|x| < |x_{0}|,$ то: $|a_{n}x^{n}| = |a_{n}x_{0}^{n}| * \dfrac{|x|^{n}}{|x_{0}|^{n}},~~~\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}~-$ сходится ${} \Rightarrow a_{n}x_{0}^{n} \to 0 \Rightarrow |a_{n}x_{0}^{n}| \leq M \Rightarrow |a_{n}x^{n}|\leq Mq^{n},~~~~~~~~~~~~q = |\dfrac{x}{x_{0}}|<1 {}$ $\sum Mq^{n}~-$ сходится $\Rightarrow$ $[$ признаку сравнения $]$ $\sum a_{n}x^{n}~-$ сходится $2)$ О/П $\exists{|x|>|x_{0}|}~~ \sum a_{n}x^{n}~-$ сходится, то $\sum a_{n}x_{0}^{n}~-$ сходится, противоречие $\square$

Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ имеет радиус сходимости $R \in [0, +\infty]$. Тогда: 1. Если ряд сходится в точке $x_0 \neq 0$, то $$\forall x \text{ с } |x| < |x_0| \implies \sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n| \text{ сходится}.$$ 2. Если ряд расходится в точке $x_0$, то $$\forall x \text{ с } |x| \geq |x_0| \implies \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \text{ расходится}.$$

** 1.** $\sum a_n x_0^n$ сходится $\implies \lim_{n \to \infty} a_n x_0^n = 0$. Следовательно, $\exists M > 0$ такое, что $\forall n\ |a_n x_0^n| \leq M$. Для $|x| < |x_0|$ положим $q = \left|\dfrac{x}{x_0}\right| < 1$. Тогда: $$ |a_n x^n| = |a_n x_0^n| \cdot \left|\dfrac{x}{x_0}\right|^n \leq M q^n. $$ Ряд $\sum M q^n$ (геометрическая прогрессия) сходится ($q<1$). По признаку сравнения $\sum |a_n x^n|$ сходится. ** 2.** От противного. Пусть $\exists x_1$ с $|x_1| > |x_0|$, для которого $\sum a_n x_1^n$ сходится. Тогда по п.1 для $x_0$ (т.к. $|x_0| < |x_1|$) ряд $\sum a_n x_0^n$ должен сходиться — противоречие. Расходимость при $|x| = |x_0|$ следует из произвольности выбора $x_0$ и расходимости в $x_0$. $\square$